Principales propiedades de la esperanza, varianza y
distribución estándar
Esperanza Matemática
Es el número
de veces que se espera que suceda un evento, que tiene una probabilidad (Px) si
se repite un número determinado de veces. Se define también como una
característica numérica de las variables aleatorias, es entonces un número que
representa en este caso el valor promedio que toma dicha variable.
Propiedades
1.
Constantes: La esperanza
matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si K es
una constante, entonces E(k)= k
2.
Linealidad: La esperanza
es un operador lineal:
·
E(k.X)= k. E(X)
·
E(X+Y)= E(X) + E(Y)
·
E(k+X)= k + E(X)
·
Si X y Y son independientes: E(X.Y)= E(X) . E(Y)
Ejemplos
·
Si una persona compra un cartón de lotería, en la
que puede ganar 5000 BsF o un segundo premio de 3000 BsF con probabilidades de
0,001 y 0,003 ¿Cuál sería el precio justo a pagar por el cartón?
E(X+Y)= 5000. 0,001 + 3000. 0,003
E(X+Y)= 5 + 9
E(X+Y)= 14
(14 es la esperanza matemática esperada)
·
En un laboratorio clínico se realizan exámenes de
diabetes a 3 personas, obteniendo 2 resultados posibles, SI presenta diabetes
(S) y NO presenta diabetes (N); se obtiene un rango de (0, 1, 2, 3) y una
probabilidad de 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 respectivamente, la esperanza matemática es:
E(X)= 0. 1/8 + 1. 3/8 + 2. 3/8 + 3. 1/8
E(X)=3/8 + 6/8 + 3/8
E(X)= 12/8
E(X)= 1,5
Varianza (suele
representarse como σ2)
Es una medida de dispersión
definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable
respecto a su media. Se puede definir como el "casi
promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a
la media muestral. La varianza de una variable aleatoria discreta se define
como: V(X)=
E (X – E(X))2
Propiedades:
·
V(k)= 0
·
V(k . X)= K2 . V(X)
·
Si X y Y son independientes: V(X + Y)= V(X) + V(Y)
V(X – Y)= V(X) + V(Y)
·
V(K + X)= V(X)
Ejemplos:
·
Se realizo una inspección en 8 hospitales del país
para conocer cuántos pacientes con cáncer de estomago se encuentran en consulta
y se obtuvieron la siguiente serie de datos: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Hallar
la varianza.
X= ∑ Xi/ n = 12+6+7+3+15+10+18+5/ 8= 9,5 (se
calcula primero la media aritmética)
σ2= 122+62+72+32+152+102+182+52
- (9,5)2
8
σ2= 23,75
La desviación promedio en expresiones
cuadráticas esperadas es de 23.75
- Se encuestaron a cuatro comunidades acerca de las personas que se encuentran con dengue y se obtuvieron los siguientes resultados: 5, 2, 6, 3; con una media aritmética de 4. Hallar la varianza
σ2= (5-4)2
+ (2-4)2 + (6-4)2 + (3-4) = 1 + 4 + 4 + 1= 10= 2,5
4 4 4
La desviación promedio en expresiones cuadráticas
esperadas es de 2,5
Desviación estándar
Es la raíz cuadrada de la varianza,
es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ. Para
conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de
tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que
presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha
distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad
al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
Propiedades
·
La desviación estándar será siempre un valor
positivo o cero, en el caso que las puntuaciones sean iguales.
·
Si a todos los valores de la variable se les suma un
numero, la desviación estándar no varía.
·
Si todos los valores de la variable se multiplican
por un numero, la desviación estándar queda multiplicada por dicho numero
·
Si tenemos varias distribuciones con la misma media
y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación
estándar total.
Ejemplos
- Calcular la desviación estándar de la cantidad de insumos que se encuentran defectuosos en una farmacia; sabiendo que posee una varianza de 0,74
σ= √ σ2
σ=√ 0,74 = 0,8602
La expresión promedio en
expresiones normales es de 0,8602
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